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Inhalt KMK-Standards
BMBF
Was sind Bildungsstandards
Stand
14.10.03; allen vielen Dank, die sich durch Rückmeldungen mit der
letzten Fassung auseinandergesetzt haben.
22.8.03
Bildungsstandards
im Fach Mathematik
für
den Mittleren Schulabschluss
Entwurf
(Stand
vom 04.07.2003)
Sekretariat
der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der
Bundesrepublik Deutschland
Ref.
II A3
Postfach
22 40
53012
Bonn
Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss
- Inhaltsverzeichnis
1 Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung
2 Allgemeine Kompetenzen im Fach Mathematik
3 Standards für inhaltsbezogene Kompetenzen
im Fach Mathematik
3.1 Mathematische Leitideen
3.2 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen
geordnet nach Leitideen
4 Aufgabenbeispiele
4.1 Anforderungsbereiche
4.2 Übersicht zu den Aufgabenbeispielen
4.3 Kommentierte Aufgabenbeispiele
4 Aufgabenbeispiele
4.1 Anforderungsbereiche
Zum Lösen mathematischer Aufgaben werden die allgemeinen mathematischen
Kompetenzen in unterschiedlicher Ausprägung benötigt. Diesbezüglich
lassen sich drei Anforderungsbereiche unterscheiden: Reproduzieren, Verbinden
und Verallgemeinern/Reflektieren, die sich erfahrungsgemäß beim
mathematischen Arbeiten zeigen.
Die Anforderungsbereiche sind für alle allgemeinen mathematischen
Kompetenzen wie folgt charakterisiert:
Anforderungsbereich I: Reproduzieren
Dieser Anforderungsbereich umfasst die Wiedergabe von Begriffen und
Sätzen sowie die Beschreibung und Verwendung gelernter und geübter
Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang.
Anforderungsbereich II: Verbinden
Dieser Anforderungsbereich umfasst das selbstständige Bearbeiten
bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten
verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf
verschiedenen Gebieten sowie in anderen Lernbereichen
erworben
wurden.
Anforderungsbereich III: Verallgemeinern/Reflektieren
Dieser Anforderungsbereich umfasst das planmäßige Bearbeiten
komplexer Gegebenheiten mit dem Ziel, selbstständig zu Problemformulierungen,
Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen und Wertungen
zu gelangen.
Die drei Anforderungsbereiche bilden ein konzeptuelles Kontinuum. Anspruch
und Komplexität nehmen von Anforderungsbereich zu Anforderungsbereich
zu. Dies bedeutet aber nicht, dass zum Beispiel Fähigkeiten des Anforderungsbereichs
II Voraussetzung für jede Fähigkeit des Anforderungsbereichs
III sind.
Die nachfolgende Tabelle zeigt die Einteilung allgemeiner mathematischer
Kompetenzen entsprechend der oben beschriebenen Anforderungsbereiche. Sie
stellt eine Ausdifferenzierung der im Kapitel 2 erläuterten allgemeinen
mathematischen Kompetenzen dar. Mit Hilfe der Tabelle kann der Prozess
des Bearbeitens einer mathematischen Aufgabe analysiert werden, so dass
eine Zuordnung einer Aufgaben bzw. Teilaufgabe zu einem Anforderungsbereich
im Wesentlichen dadurch bestimmt ist,
welche mathematischen Kompetenzen in welchen Anforderungsbereichen insbesondere
zum Lösen benötigt werden.
Tabelle Teil 1
Tabelle Teil 2
Tabelle Teil 3
Eine eingehende Würdigung der Stärken
und Schwächen der in der Tabelle zusammengestellten Handlungen und
Denkweisen würde den Rahmen einer zweistündigen, einsemestrigen
Vorlesung oder noch besser eines fachdidaktischen Hauptseminars erfordern.
Im Augenblick wird deshalb darauf verzichtet, zumal die Hauptkritik an
den Mathestandards hier in besonderem Maß zutrifft: Es handelt sich
nicht um transparente, anwendbare Standards, sondern um den Versuch, Mathematiklernen
sowie mathematisches Denken und Arbeiten unabhängig von Inhalten verbal
zu beschreiben. Für Mathematiklehrer sollte die intensive Durcharbeitung
dieser Darlegungen verpflichtend gemacht und mit einer Prüfung belegt
werden (Lehrerfortbildung). Nichtmathematiker haben nur geringe Chancen,
den Text zu einer Analyse des Lernens und Lehrens von Mathematik zu verwenden.
Bedauerlich ist, daß eine fixierte Vorstellung davon, was Mathematik
ist und wie man sie lernt, dazu nicht passende Lernformen kaum berücksichtigt.
4.2 Übersicht zu den Aufgabenbeispielen
Die folgende Übersicht zeigt eine mögliche Zuordnung von Aufgabenbeispielen
zu den allgemeinen mathematischen Kompetenzen und ihren Anforderungsbereiche
sowie zu den mathematischen Leitideen.
Die Zuordnung einer Aufgabe bzw. Teilaufgabe zu einer allgemeinen mathematischen
Kompetenz bzw. zu einer mathematischen Leitidee ist nicht in jedem Fall
eindeutig, sondern davon abhängig, welcher Aspekt mathematischen Arbeitens
beim Bearbeiten der Aufgabe hervortritt bzw. betont werden soll.
Die Zuordnung einer Aufgabe bzw. Teilaufgabe zu einem Anforderungsbereich
ist dadurch bedingt, dass von Lernvoraussetzungen der Schülerinnen
und Schüler ausgegangen wird, die diese bis zum Mittleren Schulabschluss
erworben haben sollen.
Tabellarische Darstellung
Den zur Tabelle oben genannten Einschränkungen
kann sich der Autor anschließen.
4.3 Kommentierte Aufgabenbeispiele
Aufgabe 1: Warum arbeiten Studenten?
Aufgabenstellung
a) Das nebenstehende Diagramm zeigt Untersuchungsergebnisse zur Frage
„Warum arbeiten Studenten?“ Angenommen es wurden 2000 Studenten befragt.
Wie viele Studenten haben die Aussage „zwingend notwendig für den
Lebensunterhalt“ angegeben?
b) Edeltraud sagt: „ Den Studenten scheint es doch gar nicht so schlecht
zu gehen, denn nur ungefähr ein Drittel muss „zwingend notwendig für
den Lebensunterhalt“ arbeiten.
Monika entgegnet: „ Das stimmt doch gar nicht!“
Wie kommen Edeltraud und Monika jeweils zu ihren Meinungen?
Geben Sie eine graphische Darstellung der Befragungsergebnisse an,
die die Meinungsverschiedenheit vermeidet.
c) Beschreiben Sie Beschreibe?,
wie der Autor bei der Erstellung des Diagramms vorgegangen ist.
Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Die Aufgabe ist eine komplexe, realitätsnahe Aufgabe aus dem Bereich
der beschreibenden Statistik.
Bei der Bearbeitung der Aufgabe weisen die Schülerinnen und Schüler
nach, inwieweit sie insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen
- mathematisch argumentieren (K 2) und
- mathematische Darstellungen verwenden (K 5)
im Rahmen der Leitidee Daten und Zufall (L 6) erworben haben.
Als Bearbeitungszeit sind ca. 15 Minuten vorgesehen.
Lösungsskizze mit Angabe der allgemeinen mathematischen Kompetenzen,
ihrer Anforderungsbereiche und der Leitideen
Die Aufgabe ist interessant und anspruchsvoll.
Sie verwendet "Mathematik" im Alltag. Problematisch ist es, in einer Beispielaufgabe
eine grafische Darstellung zu verwenden, die den in der Schule üblichen
Veranschaulichungen wiederspricht. Der Vollkreis wird normalerweise als
Veranschaulichung der Zahl 1 (bzw 100 %) verwendet. Dass er hier als Bild
der Zahl 1,49 verwendet wird (und 56 % somit als 1 Drittel erscheinen),
kann bei schwachen Schülern zu Verwirrung führen (übrigens
ist auch der Autor - vielleicht ist er ja schwach? - zunächst darauf
hereingefallen!). Es gibt keinen Einwand dagegen, leistungsfähige
Schüler mit solchen Aufgaben zur Flexibilisierung des Denkens zusätzlich
zu konfrontieren und sie dabei auch für die üblichen Verzerrungen
in vielen grafisch dargestellten Zahlenverhältnissen zu sensibilisieren.
Im Rahmen der üblicherweise im Prozentrechnen von der Schule vermittelten
Fähigkeiten ist die Aufgabe kontraproduktiv.
Die Aufgabe als Typ sowohl mit 100 % für
den Vollkreis als auch mit anderen Prozentsätzen läßt sich
einfach als Teil einer Aufgabenklasse automatisch generieren, durch die
die gleichen Anforderungen variantenreich konkretisiert werden können.
Aufgabe 2: Vom Stern zur Pyramide
Aufgabenstellung
Der nebenstehende symmetrische Stern hat folgende Eigenschaften:
Alle Seiten sowie die Strecken AC und CE haben die gleiche Länge
a.
a) Beschreiben Sie die Konstruktion der Figur.
b) Durch Klappen der Dreiecksflächen entsteht eine Pyramide. Bestimmen
Sie Bestimme? das Volumen der Pyramide.
b) Die Dreiecksflächen können so
geklappt werden, daß eine Pyramide entsteht. Bestimme ... Pyramide
als Funktion von a.
Es gibt genau zwei von unendlich vielen Klappmöglichkeiten,
bei denen die Pyramide entsteht!
c) Der Stern wird so verändert, dass die Strecken AC und AB nicht
mehr gleich lang sind. Die Symmetrie des Sterns bleibt jedoch erhalten.
Unter welchen Bedingungen entsteht durch Klappen der können
die Dreiecksflächen zu
einer Pyramide hochgeklappt
werden?
Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Inhaltlicher Schwerpunkt ist der Umgang mit geometrischen Figuren und
an ihnen gültigen Beziehungen. Bei der Bearbeitung der Aufgabe weisen
die Schülerinnen und Schüler nach, inwieweit sie insbesondere
die allgemeinen mathematischen Kompetenzen
- mathematisch argumentieren (K 2)
- Probleme mathematisch lösen (K 4)
- mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik
umgehen (K 6)
- und kommunizieren (K 7)
im Rahmen der Leitidee Strukturieren in der Ebene und im Raum (L 3)
sowie der Leitidee Messen (L 2) In wie fern wird die Leitidee Messen angesprochen;
es wird ja gerade nicht mit Maßen gearbeitet? erworben
haben.
Als Bearbeitungszeit sind ca. 30 Minuten vorgesehen, zugelassenes Hilfsmittel
ist eine Formelsammlung.
Lösungsskizze mit Angabe der allgemeinen mathematischen Kompetenzen,
ihrer Anforderungsbereiche und der Leitideen
Durch die Aufgabe werden wichtige mathematische
Kompetenzen abgedeckt. Das Anspruchsniveau ist hoch. Viele Schüler
könnten die Aufgabe bei einer bemaßten Skizze bearbeiten, sind
jedoch bei einer unbemaßten Skizze überfordert. Wenigstens die
Ausgangslänge sollte definiert werden.
Was heißt in 2b "Erstellen des Stützdreiecks
..."? Zeichnung, Pythagoras, Lösung im Kopf?
Bei den Lösungsvorgaben zu 2c wird die
ausgeartete Pyramide ausgeschlossen und damit dynamisches Denken eingeengt.
Die Aufgabe ist singulär, das heißt,
es ist mühsam, sie als Repräsentant einer Klasse gleichartiger
Aufgaben zu verstehen.
Aufgabe 3: Die Bogenbrücke
Aufgabenstellung
Die Kylltalbrücke bei Bitburg/Eifel ist eine der
größten frei gespannten Massivbogenbrücken
in Deutschland und wurde 1999 dem Verkehr
übergeben. Die Spannweite des Bogens
beträgt 223 m. Der Bogen hat annähernd eine
Parabelform.
Ein Wanderer will die Höhe der Brücke bestimmen. Im Abstand
von 1,2 m zum Fußpunkt A der Brücke (durch
Fußschrittmessung) ist der
Brückenbogen 2,0 m hoch (durch Vergleich
mit der Körpergröße).
Er schätzt, daß im Abstand von
1,2 m vom Fußpunkt A der Bogen eine Höhe von 2,0 m hat.
a) Bestimmen Sie damit einen Wert für die Höhe der Brücke.
b) Um wie viel Prozent ändert sich die ermittelte Brückenhöhe,
wenn der Wanderer bei der Fußschrittmessung 10 cm weniger gemessen
hätte die Horizontalschätzung 10 cm zu
nieder gelegen hätte?
Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Die Aufgabe zeigt, wie mit Hilfe mathematischer Modellbildung Probleme
in der Umwelt bearbeitet und gelöst werden können. Die Schülerinnen
und Schüler nutzen funktionale Zusammenhänge und Gleichungen
zur Bearbeitung des Problems. Dabei werden unterschiedliche Darstellungsformen
der Situation eingesetzt.
Bei der Bearbeitung der Aufgabe weisen die Schülerinnen und Schüler
nach, inwieweit sie insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen
- mathematisch modellieren (K 3) und
- mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik
umgehen (K 6)
im Rahmen der Leitidee funktionaler Zusammenhang (L 4) und der Leitidee
Zahl (L 1) erworben haben.
Als Bearbeitungszeit sind ca. 30 Minuten vorgesehen, zugelassene Hilfsmittel
sind Taschenrechner und Formelsammlung.
Lösungsskizze mit Angabe der allgemeinen mathematischen Kompetenzen,
ihrer Anforderungsbereiche und der Leitideen
Die Aufgabe geht von einer in üblicher Weise
vorgenommenen Idealiserung einer Umweltsituation aus, durch die bereits
ein wesentlicher Teil der Modellbildung vorgegeben wird; sie ist insofern
eine einfache Übungsaufgabe. Bei den Lösungshinweisen könnte
die Richtung der Veränderung zusätzlich angegeben werden, damit
klar wird, daß sich die fraglichen Werte gegenläufig ändern.
Es wäre einfach, eine Klasse äquivalenter
Aufgaben zu definieren, in der Zahlenwerte und modellierte Situation als
Parameter eingehen.
Aufgabe 4: Lohnt sich die Abkürzung?
Aufgabenstellung
Viele Autofahrer benutzen für die Fahrt von A nach B nicht die
stark befahrenen Hauptstraßen, sondern einen „Schleichweg“.
Äußern Sie sich, ob
die Abkürzung eine Zeitersparnis bringt, wenn man auf dem „Schleichweg“
durchschnittlich mit 30 km/h und auf den Hauptstraßen durchschnittlich
mit 50 km/h fahren kann.
Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Bei der Bearbeitung der Aufgabe weisen die Schülerinnen und Schüler
nach, inwieweit sie insbesondere die allgemeine mathematische Kompetenz
- kommunizieren (K 7)
im Rahmen der Leitidee Zahl (L 1) erworben haben.
Zuordnung fragwürdig und sicher unvollständig
Als Bearbeitungszeit sind ca. 10 Minuten vorgesehen, zugelassene Hilfsmittel
sind Taschenrechner und Formelsammlung.
Lösungsskizze mit Angabe der allgemeinen mathematischen Kompetenzen,
ihrer Anforderungsbereiche und der Leitideen
Klare Aufgabe, die als Erweiterungsmöglichkeit
Wartezeiten an der Kreuzung (gegebenenfalls sogar Ampelzyklen) zuläßt.
Bei der Lösung wäre ein Hinweis auf Pythagoras hilfreich.
Dieser Aufgabentyp läßt sich einfach
zu verschieden anspruchvollen Klasse äquivalenter Aufgaben erweitern.
Aufgabe 5: Würfel
Aufgabenstellung
Fünf Seiten eines Würfels von 3 cm Kantenlänge werden
rot angestrichen, die sechste Fläche bleibt ohne Anstrich. Danach
wird dieser Würfel in genau 27 Teilwürfel von 1 cm Kantenlänge
zerlegt.
Wie viele der entstandenen Teilwürfel haben genau eine (zwei;
drei, vier) rot angestrichene Fläche(n)?
Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Bei der Bearbeitung der Aufgabe weisen die Schülerinnen und Schüler
nach, inwieweit sie insbesondere die allgemeine mathematische Kompetenz
- Probleme mathematisch lösen (K 4)
im Rahmen der Leitidee Strukturieren in der Ebene und im Raum (L 3)
erworben haben.
Es gibt konkurrierende Lösungen, bei
denen (K 4) nicht angewendet werden muß.
Als Bearbeitungszeit sind ca. 5 Minuten vorgesehen.
Lösungsskizze mit Angabe der allgemeinen mathematischen Kompetenzen,
ihrer Anforderungsbereiche und der Leitideen
Singuläre, jedoch nicht unnütze Aufgabe.
Die Variationsmöglichkeiten auf gleichem Niveau sind gering oder sehr
mühsam.
5' Zeit für die Lösung erscheint
zu knapp (empirisch mit verschiedenartigen Adressaten überprüft?)
Aufgabe 6: Lohnerhöhung
Aufgabenstellung
Das Schaubild zeigt drei verschiedene Modelle (Modell A, Modell B,
Modell C) für Lohnerhöhungen.
a) Listen Sie in einer Tabelle (200 €, 400 €, 600 €,
..., 1600 €) die Lohnerhöhungen der verschiedenen Modelle in
Abhängigkeit vom Lohn auf.
b) Erstellen Sie ein weiteres Schaubild (Lohn in € ; Lohnerhöhung
in %).
c) Beide Schaubilder stellen den gleichen Sachverhalt dar. Eines soll
in einer Veröffentlichung erscheinen (z. B. Zeitungsartikel). Welches
würden Sie auswählen, wenn Sie Modell A bevorzugen? Begründen
Sie Ihre Wahl.
Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Die Aufgabe erfordert einen kritischen Umgang mit Schaubildern. Die
unterschiedlichen Begründungen enthalten fachübergreifende Aspekte
- und diese können gesellschaftlich manipulativ
wirken (Gerechtigkeitsdiskussion, gesellschaft erwünschter Berufseintritt
nach einer längeren Qualifizierungsphyse, ...); wertungsfreie
Einkleidungen des mathematischen Sachverhalts (Längenwachstum von
Pflanzen, ...) würden dies vermeiden.
Bei ihrer Bearbeitung weisen die Schülerinnen und Schüler
nach, inwieweit sie insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen
- mathematische Darstellungen verwenden (K 5 ) und
- kommunizieren (K 7)
im Rahmen der Leitidee funktionaler Zusammenhang (L 4) erworben haben.
Als Bearbeitungszeit sind ca. 15 Minuten vorgesehen, zugelassenes Hilfsmittel
ist der Taschenrechner.
Lösungsskizze mit Angabe der allgemeinen mathematischen Kompetenzen,
ihrer Anforderungsbereiche und der Leitideen
Eine gesellschaftliche neutrale Einkleidung ist
vorzuziehen. Das Bildungsziel, solche
Aufgaben lösen zu können, ist wichtig.
Es wäre einfach, Klassen von zu dieser
Aufgabe äquivalenten Aufgaben mit der Möglichkeit der automatischen
Erzeugung der Elemente zu definieren.
Aufgabe 7: Rechteck im Trapez
Aufgabenstellung
Das untenstehende Trapez ABCD ist in ein Koordinatensystem eingetragen
mit A(0;0), B(8;0), C(8;3) und D(0;15).
Dem Trapez wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass je zwei seiner
Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.
a) Die Punkte P(4;yP) und
Q(2;yQ) sind Eckpunkte von
einbeschriebenen Rechtecken und liegen auf der Seite CD.
Bestimmen Sie die Flächeninhalte
der zugehörigen Rechtecke.
b) Bestimmen Sie das Rechteck,
das den größten Flächeninhalt hat. Beschreiben Sie seine
Lage im Trapez.
Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Die Aufgabe beinhaltet eine innermathematische Problemstellung, die
Inhalte aus dem Bereich der Funktionen und der Geometrie vernetzt.
Bei der Bearbeitung der Aufgabe weisen die Schülerinnen und Schüler
nach, inwieweit sie insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen
- mathematisch denken (K 1)
- Probleme mathematisch lösen (K 4) und
- mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik
umgehen (K 6)
im Rahmen der Leitideen funktionaler Zusammenhang (L 4) und Strukturieren
in der Ebene und im Raum (L 3) erworben haben.
Als Bearbeitungszeit sind ca. 25 Minuten vorgesehen.
Zeitbedarf scheint zu hoch angegeben (empirisch
überprüft?)
Lösungsskizze mit Angabe der allgemeinen mathematischen Kompetenzen,
ihrer Anforderungsbereiche und der Leitideen
Klassische Aufgabe. Variationsmöglichkeite
auf gleichem Niveau gering.
Aufgabe 8: Holzbestand
Aufgabenstellung
Der Holzbestand eines Waldstückes betrage 80000 m³. Er wachse
jährlich um 2,5 %.
Bedenklich ohne Betrachtung der Wachstumsgrenzen;
die Annahme gilt nur für einen bestimmten Zeitraum; vorher und nachher
gehorcht das Wachstum anderen Gesetzen. Langfristiges positives exponentielles
Wachstum ist in Umwelt und Natur selten. Beispiele für degressives
Wachstum über einen langen Zeitraum würde zum Beispiel der unbeeinflusste,
radioaktive Zerfall bieten, über kürzere Zeiträume die degressive
Abschreibung (Verbindung zu anderen Gebieten). Bei beiden Einkleidungen
könnten die Grenzen des Zeitraums leicht problematisiert werden.
a) Die Entwicklung des Holzbestandes im Laufe von 20 Jahren soll in
Form einer Tabelle dargestellt werden und die Berechnung mit einem
Tabellenkalkulationsprogramm erfolgen.
Folgender Tabellenkopf ist dafür vorgegeben:
Geben Sie eine Formel für Zelle B3 an, mit der der Holzbestand nach
einem Jahr berechnet werden kann.
b) Wie viele Jahre würde es dauern, bis der Holzbestand sich verdoppelt
hat?
c) Geben Sie zur Lösung der Aufgabe b) einen weiteren Lösungsweg
an und vergleichen Sie beide.
Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Die Schülerinnen und Schüler sollen Prozentwerte berechnen,
wozu durch das fortlaufende Ermitteln für 20 Jahre die Verwendung
eines Tabellenkalkulationsprogramms zweckmäßig ist. Dazu ist
der Lösungsweg in Form einer Formel einzutragen und entsprechend die
Tabelle auszufüllen. Im Mittelpunkt steht das geistige Vorwegnehmen
des Lösungsweges, um die Rechenarbeit auf den PC zu übertragen.
Bei der Bearbeitung der Aufgabe weisen die Schülerinnen und Schüler
nach, inwieweit sie insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen
- mathematisch denken (K 1)
- kommunizieren (K 7) und
- Hilfsmittel nutzen (K 8)
im Rahmen der Leitidee funktionaler Zusammenhang (L 4) und der Leitidee
Algorithmen, Kalküle und Heurismen(L 5) erworben haben.
Als Bearbeitungszeit sind ca. 15 Minuten vorgesehen, zugelassenes Hilfsmittel
ist der PC.
Die angemessene Bearbeitungszeit hängt
stark von den Vorerfahrungen der Schüler ab.
Lösungsskizze mit Angabe der allgemeinen mathematischen Kompetenzen,
ihrer Anforderungsbereiche und der Leitideen
Wegen der Gefahr, dass die Probleme exponentiellen
Wachstums bei dieser Aufgabe unter den Tisch fallen, ist die Einkleidung
bedenklich. Der mathematische Inhalt ist wichtig
und vielseitig anwendbar.
Es ist einfach, Klassen äquivalenter
Aufgaben zu definieren und die zugehörigen Aufgaben automatisch zu
erzeugen.
Aufgabe 9: WürfeldarstellungenEbene
Schnitte von Würfeln im Netz
Aufgabenstellung
Ein Würfel wird längs der jeweils vorgegeben Ebene durchgeschnitten.
Zeichnen Sie wie im Beispiel die Schnittkanten ein:
Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Die Bearbeitung der Aufgabe erfordert räumliches Vorstellungsvermögen.
Der Schüler soll dabei nachweisen, inwieweit er insbesondere die allgemeine
mathematische Kompetenz
- mathematische Darstellungen verwenden (K 5)
im Rahmen der Leitidee Strukturieren in der Ebene und im Raum (L 3)
erworben hat.
Genauere Zuordnung zu Kompetenzen möglich.
Als Bearbeitungszeit sind ca. 10 Minuten vorgesehen.
Die Offenheit der Aufgabe sollte zugunsten
einer eindeutigen Korrektur verringert werden, indem eine der Flächen
in Schrägbild un Netz als Grundfläche durch Schraffur ausgezeichnet
wird.
Lösungsskizze mit Angabe der allgemeinen mathematischen Kompetenzen,
ihrer Anforderungsbereiche und der Leitideen
Ein wichtiger und für die meisten Schüler
erreichbarer Kompetenzbereich.
Die Bildung einer Klasse äquivalenter
Aufgaben mit automatischer Erzeugung ist möglich.
Aufgaben10: Zeit für Schule
Aufgabenstellung
Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Die Bearbeitung der Aufgabe erfordert das Strukturieren der Situation.
Die Schülerinnen und Schüler vertreten ihre Überlegungen
argumentativ und setzen sich mit
anderen Vorschlägen kritisch auseinander.
Bei der Bearbeitung der Aufgabe weisen die Schülerinnen und Schüler
nach, inwieweit sie insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen
- mathematisch modellieren (K 3) und
- kommunizieren (K 7)
im Rahmen der Leitidee Zahl (L 1) erworben haben.
Als Bearbeitungszeit sind ca. 15 Minuten vorgesehen.
Lösungsskizze mit Angabe der allgemeinen mathematischen Kompetenzen,
ihrer Anforderungsbereiche und der Leitideen
Diese Aufgabe ist recht offen formuliert. Die
Schüler müssen selbst die Fragen präzisieren, mit denen
sie sich auseinandersetzen wollen. In so fern fällt die Aufgabe aus
dem Rahmen der übrigen Aufgaben. Mit ihr kommt zum Ausdruck, daß
ein wesentliches Ziel des Mathematikunterrichts darin liegen sollte, Mathematik
in einer konkreten Umwelt entdecken zu können, und zu erfahren, daß
häufig die Grundlage für eine Mathematisierung von Annahmen abhängt,
für die eine Entscheidung nur argumentativ erfolgen kann. Solche Aufgaben
haben oft keine eindeutige Lösung. Das macht die Bewertung der Bearbeitung
schwierig.
Aufgaben gleicher Art als Aufgabenklasse zu
definieren ist daher nicht einfach.
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