1 Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung
2 Allgemeine Kompetenzen im Fach Mathematik
3 Standards für inhaltsbezogene Kompetenzen im Fach Mathematik
3.1 Mathematische Leitideen
3.2 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen geordnet nach Leitideen
4 Aufgabenbeispiele
4.1 Anforderungsbereiche
4.2 Übersicht zu den Aufgabenbeispielen
4.3 Kommentierte Aufgabenbeispiele

Die oben beschriebenen allgemeinen mathematischen Kompetenzen werden von Schülerinnen und Schülern in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben.

Dementsprechend lassen sich die allgemeinen mathematischen Kompetenzen als Dispositionen von Schülerinnen und Schülern vielfältig inhaltsbezogen konkretisieren.

Im Folgenden werden Standards für inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen, die verbindlich für den Mittleren Schulabschluss sind, benannt. Sie sind jeweils ausgewählten mathematischen Leitideen zugeordnet, um

Verständnis von grundlegenden mathematischen Konzepten zu erreichen

das Spezifische des Faches, die Besonderheiten mathematischen Denkens und mathematischer Begriffsbildung zu verdeutlichen

Bedeutung und Funktion der Mathematik für die Gestaltung und Erkenntnis der Welt erfahren zu lassen.

Die Verbindlichkeit der in 3.2 aufgeführten "Kompetenzen" ist Etikettenschwindel und Hochstapelei, sofern nicht bereits "davon gehört haben" als Kompetenz akzeptiert wird. Eine sichere Handlungs- und Nutzungsfähigkeit in allen diesen Themengebieten zugleich wird nur von einem kleinen Teil der Schüler zur Zeit des Mittleren Schulabschlusses erreicht; sie kann nicht einmal bei allen Lehrern vorausgesetzt werden.
Betrachtet man die "Kompetenzen" als Steine in einem Baukastensystem analog zu den Volkshochschulzertifikaten der Siebziger- und Achtzigerjahre des vergangenen Jahrhunderts, und stellt man Instrumente zur Überprüfung der entsprechenden Qualifikationen bereit, könnte Mathematiklernen bei einem Teil der Schüler zur Zeit des Mittleren Schulabschlusses tatsächlich zu so umfassenden Kompetenzen führen. Bei den übrigen Schülern steht man vor der Wahl, kurzlebige und fragmentarische Beherrschung aller genannten Gebiete hinzunehmen oder aber fundierte, einen längeren Zeitraum überdauernde Qualifikationen in einer Auswahl von Gebieten anzustreben.

Der Darstellung liegen folgende mathematische Leitideen zu Grunde:

Zahl

Messen

Strukturieren in der Ebene und im Raum

funktionaler Zusammenhang

Algorithmen, Kalküle und Heurismen (wenn schon Fremdwort, dann besser Heurismata; Unterschied Schemen und Schemata!, sonst Umschreibung als heuristische Strategien)

Daten und Zufall.

Die Entscheidung für diese Leitideen ist durch folgende Bedingungen bestimmt:

Eine Leitidee soll Inhalte verschiedener mathematischer Sachgebiete in sich vereinigen.

Innerhalb einer Leitidee soll mathematisches Arbeiten auf unterschiedlichen kognitiven Niveaus möglich sein.

Eine Leitidee soll ein mathematisches Curriculum „spiralförmig durchziehen“.

Die Zuordnung einer inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenz zu einer mathematischen Leitidee ist nicht in jedem Fall eindeutig, sondern davon abhängig, welcher Aspekt mathematischen Arbeitens im inhaltlichen Zusammenhang betont werden soll. Die Übersicht im Kapitel 4.2 zeigt eine Möglichkeit der Zuordnung der Aufgabenbeispiele zu den mathematischen Leitideen.

3.2 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen geordnet nach Leitideen

Leitidee Zahl
Die Schülerinnen und Schüler

entwickeln sinntragende Vorstellungen von natürlichen, ganzen, gebrochenen und rationalen Zahlen und nutzen diese entsprechend der Verwendungsnotwendigkeit
Begriffsverwendung: natürliche Zahlen sind Teil der ganzen, gebrochenen und rationalen Zahlen; ganze und gebrochene Zahlen sind Teil der rationalen Zahlen; besser "der rationalen Zahlen, speziell von natürlichen, ganzen und gebrochenen Zahlen"; warum soll die Menge der gebrochenen Zahlen besonders hervorgehoben werden?)

stellen Zahlen der Situation angemessen dar und wenden insbesondere die Darstellung in Zehnerpotenzschreibweise für sehr kleine und für sehr große Zahlen an
In mehr als 20 Jahren Arbeit im Lehramtsstudiengang an der PH Ludwigsburg wurde diese Kompetenz bei den Lehramtsstudenten des Fachs Mathematik bei weniger als 10 % der Studierenden vorgefunden

begründen die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen an Beispielen

vergleichen und ordnen Zahlen

führen Rechenoperationen mit Zahlen in verschiedenen Darstellungen aus und nutzen Überschlagsrechnungen und andere Kontrollverfahren
Was ist mit "verschiedenen Darstellungen" gemeint: Dezimalschreibweise, nichtdezimale Stellenwertsysteme, ...?

nutzen Rechengesetze, auch zum vorteilhaften Rechnen, insbesondere auch Strategien für das Rechnen im Kopf

runden Rechenergebnisse entsprechend dem Sachverhalt sinnvoll, auch bei Verwendung unterschiedlicher Rechenhilfsmittel
Auch hier muß mit Defiziten bei den Lehrern selbst gerechnet werden

verwenden Prozent- und Zinsrechnung sachgerecht
Eine Kompetenz, die weder bei Abiturienten noch bei allen Lehrern vorausgesetzt werden kann

erläutern an Beispielen den Zusammenhang zwischen Potenz, Wurzel und Logarithmus

führen in konkreten Situationen kombinatorische Überlegungen durch, um die Anzahl der jeweiligen Möglichkeiten zu bestimmen

prüfen und interpretieren Ergebnisse in der betreffenden  Sachsituation (bezieht sich "betreffenden" auf die kombinatorischen Überlegungen?) unter Einbeziehung einer kritischen Einschätzung des gewählten Modells und seiner Bearbeitung.

Leitidee Messen
Die Schülerinnen und Schüler

nutzen das Grundprinzip des Messens, insbesondere bei der Längen-, Flächen- und Volumenmessung, auch in Naturwissenschaften und in anderen Bereichen

wählen Größeneinheiten alternativ: passende Einheiten für Größen (insbesondere von für  Zeit, Masse, Geld, Länge, Fläche, Volumen und Winkel) hinsichtlich der jeweiligen Situation angemessen aus
Sprachgebrauch Größe als Kombination von Zahlenwert und Einheit (nicht Größeneinheit)

schätzen Größen mit Hilfe von Vorstellungen über geeignete Repräsentanten

geben Messergebnisse und berechnete Größen in sinnvoller Genauigkeit an

berechnen Flächeninhalt und Umfang von Rechteck, Dreieck und Kreis sowie von aus ihnen zusammengesetzten Figuren

berechnen Volumen und Oberflächeninhalt (knapperer Sprachgebrauch: Oberfläche) von Quader, Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel sowie von aus ihnen ( besser daraus) zusammengesetzten Körpern

berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen, auch unter Nutzung von trigonometrischen Beziehungen und Ähnlichkeitsbeziehungen

nehmen in ihrer Umwelt gezielt Messungen vor oder entnehmen aus Materialien Maßangaben, führen damit Berechnungen durch und bewerten die Ergebnisse sowie den gewählten Weg in Bezug auf die Sachsituation.

Leitidee Strukturieren in der Ebene und im Raum
Die Schülerinnen und Schüler

erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt

operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern

stellen Körper (z.B. als Netz, Schrägbild oder Modell) dar und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen

analysieren und klassifizieren geometrische Objekte der Ebene und des Raumes

beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen

wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen, Berechnungen und Beweisen an, insbesondere den Satz des Pythagoras und den Satz des Thales

zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamischer Geometriesoftware

stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar und nutzen diese Darstellungen zur Analyse geometrischer Situationen und beim Problemlösen

beschreiben und begründen Ergebnisse von (geometrischen) Bewegungen und zentrischen Streckungen

setzen geeignete Hilfsmittel beim explorativen Arbeiten und Problemlösen ein.

Leitidee funktionaler Zusammenhang
Die Schülerinnen und Schüler

nutzen Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge

erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen diese in sprachlicher, tabellarischer oder graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar

analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche Darstellungen funktionaler Zusammenhänge (wie lineare, im Besonderen proportionale,und antiproportionale und quadratische (Siehe Aufgabenbeispiel 3)

lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen

interpretieren (zweidimenensionale) lineare Gleichungssysteme graphisch

bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen und stellen Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph her

wenden insbesondere lineare und quadratische Funktionen sowie Exponentialfunktionen bei der Beschreibung und Bearbeitung von Problemen an
Überschneidung mit den Punkten 3 und 4

verwenden die Sinusfunktion zur Beschreibung von periodischen Vorgängen

beschreiben Veränderungen von Größen mittels Funktionen, auch unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms

geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion beschrieben werden können.

Leitidee Algorithmen, Kalküle und Heurismen heuristische Strategien
Die Schülerinnen und Schüler

wählen Algorithmen bzw. Kalküle als Verfahren zum Lösen mathematischer Standardaufgaben begründet aus und wenden diese auch unter Nutzung von geeigneten Hilfsmitteln an

beschreiben Vorgehensweisen und Verfahren für das Lösen von Aufgaben, denen Algorithmen, Kalküle oder Heurismen zu Grunde liegen

lösen Gleichungen, Ungleichungen und lineare Gleichungssysteme kalkülmäßig bzw. algorithmisch und vergleichen ggf. ihr Vorgehen hinsichtlich der Effektivität mit anderen Lösungsverfahren (wie mit inhaltlichem Lösen oder Lösen durch systematisches Probieren)

führen Konstruktionskalküle (Grundkonstruktionen) zum Lösen von geometrischen Standardaufgaben aus, entwickeln selbst Konstruktionskalküle für problemhafte Konstruktionsaufgaben

untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen und quadratischen Gleichungen, linearen Gleichungssystemen sowie Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen

bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen, Kalküle oder Heurismen zu Grunde liegen.

Leitidee Daten und Zufall
Die Schülerinnen und Schüler

werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus

planen statistische Erhebungen entsprechend der zu untersuchenden Fragestellung

sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software)

interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen Was für?

reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren

beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen

bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten.

3.3 Satirischer Transferversuch von der Leitidee Zahl zu der Leitidee Ball

Zu 3.2 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen geordnet nach Leitideen
 

Beispiele hinken stets; es dürfte trotzdem deutlich werden, wie weit die Beschreibungen der inhaltsbezogenen Kompetenzen von konkreten Standards entfernt sind und wie wenig sie das Lernen selbst stützen.

Wie man vorgehen könnte, wird unter www.bildungsoptionen.de/standard.htm im Detail beschrieben und durch Beispiele aus den Fächern Mathematik (Beispiel 1: (Teil-) Standard zur online-Bearbeitung, Beispiel 2; Beispiel 3), Deutsch und Englisch beschrieben
 

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